Schnittpunkt zweier Geraden

Posted: 6th Februar 2011 by xaedes in Kaufhausschlacht
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Wollen wir den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen bestimmt setzen wir die beide Geradengleichungen gleich:
\overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{s_1} + k \cdot \overrightarrow{v_1} \\ \overrightarrow{x_2} = \overrightarrow{s_2} + m \cdot \overrightarrow{v_2} \\ \\ \overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{x_2} \\ \overrightarrow{s_1} + k \cdot \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{s_2} + m \cdot \overrightarrow{v_2} \\

Jetzt müssen wir nach k oder m umstellen und in die entsprechende Parametergleichung einsetzen um einen Schnittpunkt zu errechnen:
\overrightarrow{s_1} + k \cdot \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{s_2} + m \cdot \overrightarrow{v_2} \\ \overrightarrow{s_1}.x + k \cdot \overrightarrow{v_1}.x = \overrightarrow{s_2}.x + m \cdot \overrightarrow{v_2}.x \\

  1. Fall : \overrightarrow{v_1}.x \neq 0
    k = \frac{\overrightarrow{s_2}.x + m \cdot \overrightarrow{v_2}.x-\overrightarrow{s_1}.x}{\overrightarrow{v_1}.x} \\ \overrightarrow{s_1}.y + k \cdot \overrightarrow{v_1}.y = \overrightarrow{s_2}.y + m \cdot \overrightarrow{v_2}.y \\ \overrightarrow{s_1}.y + \frac{\overrightarrow{s_2}.x + m \cdot \overrightarrow{v_2}.x-\overrightarrow{s_1}.x}{\overrightarrow{v_1}.x} \cdot \overrightarrow{v_1}.y = \overrightarrow{s_2}.y + m \cdot \overrightarrow{v_2}.y \\ \overrightarrow{s_1}.y + \frac{(\overrightarrow{s_2}.x-\overrightarrow{s_1}.x) \cdot \overrightarrow{v_1}.y }{\overrightarrow{v_1}.x} + m \cdot \frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} = \overrightarrow{s_2}.y + m \cdot \overrightarrow{v_2}.y \\ m \cdot (\frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} - \overrightarrow{v_2}.y) = \overrightarrow{s_2}.y - \overrightarrow{s_1}.y - \frac{(\overrightarrow{s_2}.x-\overrightarrow{s_1}.x) \cdot \overrightarrow{v_1}.y }{\overrightarrow{v_1}.x}

    1. Fall : \frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} - \overrightarrow{v_2}.y \neq 0
      m = \frac{\overrightarrow{s_2}.y - \overrightarrow{s_1}.y - \frac{(\overrightarrow{s_2}.x-\overrightarrow{s_1}.x) \cdot \overrightarrow{v_1}.y }{\overrightarrow{v_1}.x}}{\frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} - \overrightarrow{v_2}.y} \\ \\ \overrightarrow{x_2} = \overrightarrow{s_2} + m \cdot \overrightarrow{v_2}\\
      Schnittpunkt x_2 berechnet.
    2. Fall : \frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} - \overrightarrow{v_2}.y = 0
      \frac{\overrightarrow{v_2}.x \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} = \overrightarrow{v_2}.y

      1. Fall: \overrightarrow{v_2}.x \neq 0
        \frac{ \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} = \frac{\overrightarrow{v_2}.y}{\overrightarrow{v_2}.x}
        Geraden 1 und 2 sind parallel, schneiden sich also nicht.
      2. Fall: \overrightarrow{v_2}.x = 0
        \frac{0 \cdot \overrightarrow{v_1}.y}{\overrightarrow{v_1}.x} = \overrightarrow{v_2}.y \\ \overrightarrow{v_2}.x = \overrightarrow{v_2}.y = 0
        Gerade 2 hat keine Richtung, Geraden schneiden sich also nicht.
  2. Fall : \overrightarrow{v_1}.x = 0
    \overrightarrow{s_1}.x + k \cdot 0 = \overrightarrow{s_2}.x + m \cdot \overrightarrow{v_2}.x \\ \overrightarrow{s_1}.x = \overrightarrow{s_2}.x + m \cdot \overrightarrow{v_2}.x \\

    1. Fall: \overrightarrow{v_2}.x \neq 0
      m=\frac{\overrightarrow{s_1}.x-\overrightarrow{s_2}.x}{\overrightarrow{v_2}.x} \\ \overrightarrow{x_2} = \overrightarrow{s_2} + m \cdot \overrightarrow{v_2}\\
      Schnittpunkt x_2 berechnet.
    2. Fall: \overrightarrow{v_2}.x = 0
      \overrightarrow{v_2}.y = \overrightarrow{v_1}.x = 0
      Gerade 1 und 2 sind parallel, schneiden sich also nicht.

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